Optimal Trading Strategie Mit Optimal Horizont Pdf

Optimale Handelsstrategie für einen Investor: der Fall der Teilinformation Peter Lakner Abteilung für Statistik und Operations Research New York University, 44 W. 4. St. New York, NY 10012, USA Erhalten 22. Mai 1997. Überarbeitet am 8. April 1998. Akzeptiert am 10. April 1998. Verfügbar online 22. November 1998. Wir werden hier das Optimierungsproblem eines Investors ansprechen, der den erwarteten Nutzen aus dem Terminalvermögen maximieren möchte. Die Neuheit dieser Arbeit ist, dass der Driftprozess und die fahrende Brownsche Bewegung, die in der stochastischen Differentialgleichung für die Sicherheitspreise erscheint, für Anleger auf dem Markt nicht als beobachtbar angesehen werden. Investoren beobachten nur die Sicherheitspreise und die Zinssätze. Der Driftprozess wird durch einen Gaußschen Prozess modelliert, der in einem speziellen Fall zu einem mehrdimensionalen, mittelreferierenden OrnsteinUhlenbeck-Prozess wird. Das Hauptergebnis des Papiers ist eine ausdrückliche Darstellung für die optimale Trading-Strategie für eine Vielzahl von Utility-Funktionen. Utility-Funktion Sicherheitspreise und ihre Filtration Handelsstrategie Optimierung Gradient Operator Clarks Formel 1 Einleitung In diesem Beitrag lösen wir ein Nutzen-Maximierungsproblem eines Investors, der den erwarteten Nutzen aus dem Endwert seines Portfolios auf dem endlichen Zeitintervall 0, T maximieren möchte . Wir gehen davon aus, dass auf dem Markt, dessen Dynamik durch Gl. Gl. Gegeben ist, N risikobehaftete Wertpapiere (S 1 (t), S N (t) (2.1). Und es gibt einen festen Zinssatz r. Dieses Problem wurde weitgehend untersucht, zum Beispiel von Cox und Huang (1989). Cox et al. (1985). Duffie und Zame (1989). Heand Pearson (1991). Karatzas et al. 1991. Karatzas et al. 1987 oder Ocone und Karatzas (1991). Die Besonderheit dieses Papiers ist, dass wir nicht davon ausgehen, dass die Anleger den Driftprozess t und die Brownsche Bewegung in der stochastischen Differentialgleichung für die Sicherheitspreise beobachten können. Wir nennen diese Situation den Fall der Teilinformation, um sie von dem Fall der vollständigen Information zu unterscheiden, die in den obigen Papieren studiert wurde. Es ist klarer, dass die Anleger nur teilweise Informationen haben, da die Preise und Zinssätze veröffentlicht und der Öffentlichkeit zugänglich gemacht werden, aber Drifts und Pfade von Brownschen Bewegungen sind nur mathematische Werkzeuge zur Modellerstellung, aber sicherlich nicht zu beobachten. Die Tatsache, dass Investoren nur Teilinformationen haben, wird modelliert, indem sie verlangt, dass Handelsstrategien an die Filtration angepasst werden, die durch die Sicherheitspreise erzeugt wird, die kleiner als die ursprüngliche Filtration ist. Das Problem der Teilinformation wurde bereits in Lakner (1995) diskutiert, wo eine Formel für das optimale Niveau des Endvermögens präsentiert wurde und die Existenz einer entsprechenden Handelsstrategie gezeigt wurde. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist es, explizite Formulare für die optimale Handelsstrategie zu erarbeiten. Der Drift-Prozess wird ein Gauß-Prozess sein, der von einem System linearer stochastischer Differentialgleichungen modelliert wird, in dem die treibende Brownsche Bewegung unabhängig von der in der Gleichung für die Sicherheitspreise erscheinenden ist und in einem speziellen Fall ein multidimensionaler OrnsteinUhlenbeck-Prozess mit mittlerer Rückkehr wird Drift. Die Formel für die optimale Handelsstrategie wird den Prozess m t beinhalten, der die bedingte Erwartung der Drift t bei den verfügbaren Informationen ist. Es werden zwei spezifische Beispiele ausgearbeitet, eine für die logarithmische und die andere für die Energieversorgungsfunktion. Mit der logarithmischen Utility-Funktion kann die optimale Trading-Strategie in einem Feedback-Formular geschrieben werden, das aus der entsprechenden Formel im vollständigen Informationsfall formell abgeleitet werden kann. Es wird jedoch gezeigt, dass mit der Energieversorgungsfunktion die formale Substitution von m für die Rückmeldung der optimalen Handelsstrategie im vollständigen Informationsfall nicht die richtige Formel für die optimale Handelsstrategie im Teilinformationsfall liefert. (Siehe auch Browne und Whitt (1996) für ein ähnliches Beispiel in einem diskreten Zeitmodell.) Man kann in Gennote (1986) weitere verwandte Informationen finden. Dothan und Feldman (1986). Detemple (1991). Und in der Dissertation von Honda (1998). Die Berechnung der optimalen Handelsstrategie liegt im Grunde darin, den Integrand in der stochastischen Integraldarstellung des optimalen Endvermögens zu finden. Die hier verwendete Technik beinhaltet den Gradientenoperator D. Wie in Ocone und Karatzas (1991). In dem die optimale Handelsstrategie unter vollständiger Information nach der gleichen Technik berechnet wird. Wir verwenden dieses Papier als Grundreferenz für Informationen über den Gradientenoperator. Die optimale Handelsstrategie wurde für den Bayeseischen Fall von Browne und Whitt (1996) für den logarithmischen Nutzen und von Lakner (1994) für allgemeine Nutzenfunktionen ausgearbeitet. Das Wort Bayesean bedeutet hier, dass eine unbemerkte Zufallsvariable mit einer bekannten Vorverteilung ist. Die Organisation und der Grundinhalt des Papiers ist folgendes. In Abschnitt 2 beschreiben wir das Marktmodell und erinnern an die allgemeine Formel für den optimalen Terminalreichtum. Dabei handelt es sich um einen Prozeß, der die bedingte Erwartung des RadonNicodym-Derivats des Martingal-Maßes in Bezug auf das ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsmaß ist. In Abschnitt 3 zeigen wir, dass eine stochastische Differentialgleichung erfüllt ist, die eine explizite Darstellung für t ergibt. Dies wird nun die oben erwähnte bedingte Erwartung m t der Drift t unter Berücksichtigung der verfügbaren Informationen beinhalten. In Abschnitt 4 geben wir die Dynamik von t an, die es uns erlaubt, m t mit dem bekannten KalmanBucy-Filter zu berechnen. Als nächstes wird das Hauptthema angegeben, das unsere Formel für die optimale Handelsstrategie darstellt. Diese Formel beinhaltet die zuvor beschriebenen Prozesse und m und die deterministische bedingte Kovarianzfunktion von t. Wir spezialisieren die Formel für die optimale Handelsstrategie für die logarithmischen und die Energieversorgungsfunktionen. In Abschnitt 5 wird der Beweis des Hauptsatzes vorgestellt. Der Beweis selbst wird auf mehrere Lemmata zerlegt. Der Anhang enthält den Beweis für ein Lemma und einen Satz in Abschnitt 4. 2 Das Modell Sei ein kompletter gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum mit einer festen Terminaltime T gt0. Es gibt N riskante Wertpapiere auf diesem Raum mit dem N-dimensionalen Preisprozess (das Sternchen bedeutet Transposition). Die Dynamik dieser Prozesse wird durch das System der stochastischen Differentialgleichungen bestimmt. In der obigen Gleichung ist die Drift ein angepaßter, messbarer N-dimensionaler Prozeß, bei dem die euklidische Norm ist. Der Prozeß ist eine N-dimensionale Brownsche Bewegung, und (ij) i, j 1, N ist eine nicht-symmetrische Matrix von Konstanten. Sei r ein konstanter deterministischer Zinssatz. Wir nehmen an, dass die Anfangspreise deterministische positive Konstanten sind. Sei die verstärkte Filtration, die durch den Preisprozess S erzeugt wird. In dieser Arbeit wird man davon ausgehen, dass nur - adapierte Prozesse beobachtbar sind, so dass Agenten in diesem Markt nicht die Brown'sche Bewegung w (1) und den Driftprozess beobachten. Der konstante Zinssatz r. Der Anfangspreisvektor S 0 und die Flüchtigkeitsmatrix sind allen im Markt tätigen Agenten bekannt. Wir definieren das positive lokale Martingal durch die Gleichung, wo der N-dimensionale Vektor mit allen Einträgen gleich 1 ist. (2.3) und (2.4) haben die eindeutige Lösung Annahme 2.1. Wir werden davon ausgehen, dass Z ein Martingal ist. Als nächstes werden wir eine Handelsstrategie für einen in diesem Markt tätigen Vertreter definieren. Lass ich (t) die Geldmenge sein, die zur Zeit t in die i-th-Sicherheit investiert wurde. Definition 2.2. Eine Handelsstrategie ist ein N-dimensionaler, messbarer, verwandter Prozess, so dass wir betonen, dass eine Handelsstrategie erforderlich sein muss, damit die Anleger tatsächlich nur die Sicherheitspreise beobachten, nicht die Drift oder die Brown'sche Bewegung w (1). Sei X t der Reichtum zum Zeitpunkt t eines Agenten, der der Handelsstrategie folgt. Der anfängliche Reichtum X 0 x 0 ist eine deterministische Konstante. Es wird angenommen, daß der Prozeß nach der Dynamik weiterentwickelt wird. Die Isos-Regel impliziert, daß der diskontierte Reichtum e rt X t die Form hat. Nach dem Girsanovs-Theorem und der Annahme 2.1 ist der N-dimensionale Prozeß eine Brownsche Bewegung unter der Wahrscheinlichkeitsmaß P, wo wir bezeichnen Erwartungsoperator entsprechend der Maßnahme P. Definition 2.3. Eine Handelsstrategie heißt zulässig, wenn X t 0, a. s. T 0, T. Definition 2.4. Eine Funktion heißt eine Utility-Funktion, wenn sie stetig ist, streng steigend, streng konkav auf ihrer Domäne, kontinuierlich differenzierbar auf (0,) mit Ableitungsfunktion U (), die die Relation erfüllt. Unser Optimierungsproblem besteht darin, den erwarteten Nutzen aus dem Endvermögen zu maximieren, Dh über alle zulässigen Handelsstrategien. Wir definieren den N-dimensionalen Rückgabeprozess, so dass wir die folgenden Zerlegungen für den Rückgabeprozess haben: Beziehungen (2.12) und (2.14) implizieren, dass S. R Und w erzeugen jeweils die gleiche Filtration. So ist stetig (Karatzas und Shreve, 1988. Korollar 2.7.8). Sei die optionale Projektion des P-Martingale Z zu, also Wir merken, dass ein Martingal in Bezug auf und für jede - meßbare zufällige Variable V ist. - meßbare Zufallsvariable Y. Und - meßbare zufällige Variable W mit 0 t u T Die letzte Identität impliziert, dass 1 ein - Martingale ist. Da wird durch w erzeugt. So 1 und auch . Muss stetig sein Sei die Funktion die pseudo-inverse Funktion der streng abnehmenden Ableitung der Nutzfunktion Die oben definierte Funktion I wird tatsächlich die umgekehrte Funktion von U, wenn lim x 0 U (x). Allerdings haben wir diese Annahme nicht gemacht. Wir erinnern uns an den folgenden Satz von Lakner (1995). Satz 2.5. Angenommen, für jede Konstante x (0,) Dann ist das optimale Niveau des endgültigen Reichtums, wo die Konstante y eindeutig bestimmt ist. Der optimale Reichtumsprozeß X und die Handelsstrategie wird implizit durch 3 bestimmt. Explizite Darstellung des optimalen endgültigen Reichtumsniveaus Formel ( 2.21) für das optimale Niveau des terminalen Vermögens beinhaltet die Zufallsvariable T und wir werden einen Weg finden, ihn in diesem Abschnitt zu berechnen. Wir stellen die bedingte Mittelvektor - und Kovarianzmatrix von t mit dem Verständnis ein, daß die Prozesse m und messbare Versionen der entsprechenden bedingten Erwartungen sind. Das Ergebnis für die Darstellung von t wird im folgenden Satz formuliert. Und der N - dimensionale Prozess m ist stetig. Dann erfüllt der Prozeß 1 die stochastische Differentialgleichung und wir haben die Darstellung und dieser letzte Ausdruck ist fast sicher endlich wegen der Kontinuität von m und. Nun (3.7) und (3.8) implizieren, dass durch Gl. (2.17) ist die linke Seite dieser letzten Identität gleich 1 t. Und nach (2.17) und (3.1) ist die rechte Seite gleich der Gleichung. (3.4) folgt. Identität (3.5) ist eine offensichtliche Folge von Gl. (3.4). So ist unser Beweis vollständig. Jetzt Gl. (3.5) stellt eine Formel für dar. Aber es ist noch nicht explizit genug, denn es geht um den Prozess m, für den wir noch keine berechenbare Darstellung haben. Wir können mehr über m sagen, wenn wir die Dynamik der Drift angeben. Und das wird im nächsten Abschnitt gemacht. 4 Explizite Formel für die optimale Handelsstrategie Für den Rest dieses Aufsatzes wird angenommen, daß der N-dimensionale Driftprozeß die Lösung der stochastischen Differentialgleichung ist, wobei w (2) eine N-dimensionale Brownsche Bewegung in bezug auf, unabhängig von ist W (1) unter P. Und sind bekannte Matrizen von reellen Zahlen und ist ein bekannter N-dimensionaler Vektor von reellen Zahlen. Wir nehmen an, daß es invertierbar ist und daß 0 eine N-dimensionale Normalverteilung mit dem Mittelvektor m 0 und der Kovarianzmatrix 0 folgt. Es wird angenommen, dass der Vektor m 0 und die Matrix 0 allen Agenten auf dem Markt bekannt sind. Wir bemerken, dass, wenn eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen in der Diagonale ist, dann ein N-dimensionaler OrnsteinUhlenbeck-Prozess mit mittler-revertierender Drift sein wird. Wir werden auch davon ausgehen, dass tr (0) und sind klein. Um strenger zu sein, gehen wir davon aus, dass die Annahme (4.2) grob bedeutet, dass die Abweichungen der Komponenten der Drift t im Vergleich zu den Abweichungen der Komponenten des Rückführprozesses R klein sind. Die in (2.12) und (2.13) (siehe (A.5) im Anhang für die Kovarianzmatrix von t definiert ist. Wir bemerken, dass, wenn eine positiv-semidefinite symmetrische Matrix dann K N ist, weil wir in diesem Fall in der Form schreiben können, wobei T eine orthogonale Matrix ist und mit den nicht-negativen Einträgen 1 ,, N in der Diagonale diagonal ist. Mit der elementaren Matrixalgebra können wir Lemma 4.1 berechnen. Mit dem oben angegebenen Driftprozess. Annahme 2.1. ist befriedigt. Darüber hinaus verschieben wir den Nachweis auf den Anhang. Wir können den Rückführungsprozess R von (2.12) als Beobachtungsprozess verwenden, da er die gleiche Filtration wie den Preisprozess S erzeugt. Wenn wir das tun, dann sind wir im Rahmen des klassischen KalmanBucy Filters. Es ist bekannt (Liptser und Shiryayev I, 1977. Theorem 10.3), daß m die eindeutige, lösbare Lösung des linearen Systems der stochastischen Differentialgleichungen (4.6) ist und die eindeutige Lösung der deterministischen Riccati-Gleichung (4.7) mit anfänglich ist Bedingung (m 0, 0). Es folgt (und auch bekannt), dass die bedingte Kovarianzmatrix (t) deterministisch ist. In dem Fall, wenn N gt1 haben wir keine explizite Formel für. Allerdings können wir für das bedingte Mittel m auf folgende Weise lösen. Die fundamentale Lösung des deterministischen Systems, d. h. ist eine N N-Matrix-bewertete Funktion, die (4.8) mit der Anfangsbedingung erfüllt, daß (0) die N N-Identitätsmatrix ist. Dann wird m t in Bezug auf und als Bemerkung 4.2 bestimmt. Es ist bekannt, dass bei N 1 die Riccati-Gleichung (4.7) eine explizite Lösung hat. Gl. (4.7) wird die optimale Handelsstrategie für diese Nutzenfunktion unter vollständiger Information (Ocone und Karatzas, 1991. Formel (4.22)), und unsere Formel (4.31) für den Fall der Teilinformation kann daraus nicht dadurch abgeleitet werden, daß man m für Wegen des zusätzlichen Nicht-Null-Terms Gt in Gl. (4.31). Man kann die Einschränkung lt0 in Gl. (4.28) zu restriktiv. Das Problem mit Power Utility Funktionen mit positiv ist, dass sie nicht erfüllen (4.18) und (4.19). Im nächsten Satz überwinden wir dieses Problem durch die Stärkung von Gl. (4.2). Und K ist in Gl. (4.4). Dann für die Energieversorgungsfunktion des Formulars (4.28) mit 0lt. Formeln (4.31) und (4.32) liefern immer noch die optimale Handelsstrategie. Wir verschieben den Beweis dieses Satzes auf den Anhang. Jetzt wissen wir, dass (4.31) und (4.32) die optimale Handelsstrategie für alle (für alle 0lt lt1, solange die Bedingung (4.33) erfüllt ist. Wir nehmen an, dass dann, wo dann I 1 (x) 1 x Inverse Funktion von U 1, so kann man intuitiv erwarten, dass also die optimale Handelsstrategie für die Nutzenfunktion U 2 zur optimalen Strategie für den logarithmischen Nutzen U 1 konvergiert. Dies ist in der Tat der Fall. Wir müssen nur die bedingte Erwartung zeigen In der Definition von G t konvergiert fast null auf Null, aber dies folgt aus dem dominierten Konvergenzsatz für bedingte Erwartungen, denn wenn 1,0 dann bedeutet dies, für welche die endliche Erwartung unter P durch die Unregelmäßigkeit und die Proposition 4.1 und 4.35) folgt nun 5 Beweis des Theorems 4.3 Die Hauptmethode in diesem Beweis ist die Verwendung des Gradientenoperators D, der auf die Teilmenge der Klasse der Funktionalitäten des sogenannten D 1,1 wirkt, für die genauen Definitionen des Raumes D 1, 1 und der Betreiber D beziehen wir uns auf Ocone und Karatzas (1991) und Shigekawa (1980). Wir verwenden die verallgemeinerte Version der Clarks-Formel (Karatzas et al., 1991), die garantiert, daß für jede zufällige Variable A D 1,1 die stochastische Integraldarstellung Für eine N-dimensionale Zufallsvariable A (D 1,1) N gilt. Wir definieren DA als eine (N N) - dimensionale Matrix mit Komponenten Das folgende Lemma schreibt Bedingungen aus, unter denen der Gradientenoperator D und das gewöhnliche Lebesgue-Integral austauschbar sind. Außerdem . Wir nehmen an, dass es für fast alle übrig bleibt (oder rechts) Dann und um der Kürze willen lassen wir den Beweis aus. Wir werfen den bedingten Mittelwert von Gl. (4.9) in der Form, wo () die grundlegende Lösung des Systems ist (4.8). Beweis. Identität (5.13) folgt aus Lemmas 5.1 und 5.3. Identität (5.14) folgt aus Proposition 2.3 von Ocone und Karatzas (1991), sobald wir verifizieren, dass der Prozess ein Mitglied der Klasse ist, die in diesem Papier definiert ist (S. 190, 191). Bedingung (i) dieser Definition übersetzt in Gl. (5.10). Bedingung (ii) folgt aus der richtigen Kontinuität von (siehe (5.3) und (5.11)). Bedingung (iii) folgt aus (5.4) und (5.11). Und Gl. (5.3). Lemma 5.5. Wir haben folgende Beziehungen: Beweis. Die linke Seite der ersten Ungleichung kann wie folgt geschrieben werden. (5.4) genügt es zu zeigen, daß dies jedoch aus Gl. (5.3) und einige elementare Berechnungen mit dem vierten Moment der Normalverteilung. Die zweite Ungleichung in Gl. (5.15) ist eine leichte Folge von (5.13). (5.3) und (5.4) und einige einfache Berechnungen. Wir wissen bereits aus Lemma 5.4, dass V 1 und V 2 in D 1,1 sind. So müssen wir nur den Zustand von Lemma A1 von Ocone und Karatzas (1991) zeigen. Die in unserem Fall ist Die erste Ungleichung folgt aus Lemma 4.1, und die zweite ist eine Folge von Inhabern und Jensens Ungleichungen, Lemma 4.1 und Gl. (5.15). Jetzt sind wir bereit, den Satz 4.3 zu beweisen. Wir werden zeigen, dass für jedes x (0,) Beide Verhältnisse von Ocone und Karatzas, Lemma A1 folgen, vorausgesetzt, dass die Bedingungen erfüllt sind. Die zweite Ungleichung ist eine Folge der Annahme (4.18) und Lemma 4.1. Die linke Seite der ersten Ungleichung in Gl. (5.20) wird durch (5.17). (5.14). (5.13) und (4.19) Beide Ausdrücke im letzten Ausdruck sind endlich durch Gl. (5.15). Inhaber und Jensens Ungleichheiten und Lemma 4.1. Wir können nun die Formel (4.20) für die optimale Handelsstrategie durch eine einfache Algebra ableiten (2.23). (5.1). (5.19). (5.17). (5.3) und (4.17). Was den Beweis des Theorems vervollständigt. Danksagungen Der Autor ist verpflichtet, Stanley R. Pliska für fruchtbare Diskussionen über das Thema dieser Arbeit. Danke auch wegen eines anonymen Schiedsrichters für seine wertvollen Bemerkungen. Ein Teil dieser Forschung wurde durchgeführt, während der Autor das Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences besuchte. Ihre Gastfreundschaft wird sehr geschätzt. Anhang A Wir werden Lemma 4.1 durch zwei weitere Lemmata beweisen. Beweis. Wir bemerken, dass Z ein positives lokales Martingal ist, also von Fatous Lemma ist es ein Supermartingale. Darum können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, daß lt0 oder gt1, weil sonst aus der supermartingale Eigenschaft für Z folgt. Durch die Ungleichheit der Inhaber und Gl. (2.5) Der erste Faktor im letzten Ausdruck ist endlich, weil der Prozeß wieder ein positives lokales Martingal also ein Supermartingale ist. Das Quadrat des zweiten Faktors wird durch und durch die Jensens-Ungleichung begrenzt, das ist durch konstante Multiplikator-Zeiten die linke Seite von Gl. (A.1). Was den Beweis des Lemmas vervollständigt. Lemma A.2. Angenommen, das ist eine positive reale Zahl, so dassOptimal Trading-Strategie mit Optimal Horizon Edward E. Qian PanAgora Asset Management Journal Of Investment Management (JOIM), Drittes Quartal 2008 Abstract: Portfolio-Implementierung ist ein wesentlicher Bestandteil der aktiven Anlagestrategien. Der Handelshorizont - die für die Trade-Implementierung zugeteilte Zeitspanne - ist eine wichtige Überlegung im Portfolio-Handel. Bisherige Forschung zum optimalen Handel begrenzt den Handelshorizont als festen Wert. In dieser Arbeit behandeln wir sie als endogenen Faktor und finden den optimalen Handelshorizont als Teil der optimalen Handelsstrategie, um die Handelskosten weiter zu senken. Wir ermitteln analytische Ergebnisse für eine optimale Handelsstrategie mit optimalem Horizont und liefern numerische Beispiele für die Illustration. Schlüsselwörter: Optimaler Handel, Handelshorizont, Portfoliomanagement JEL Klassifizierung: G00 Datum der Veröffentlichung: 7. Oktober 2008 Letzte Überarbeitung: 19. Oktober 2010 Vorgeschlagene Zitat Qian, Edward E. Optimale Handelsstrategie mit Optimal Horizon (6. Oktober 2008). Journal of Investment Management (JOIM), Drittes Quartal 2008. Erhältlich bei SSRN: ssrnabstract1279701 Kontaktdaten Edward E. Qian (Kontakt Autor) PanAgora Asset Management (E-Mail) 470 Atlantic Avenue, 8. Stock Boston, MA 02210 Vereinigte Staaten 617-439-6327 (Telefon) Optimale Handelsstrategie und Angebotsdynamik Anna A. Obizhaeva a, 1. Jiang Wang b, c, d ,. Ein Robert H. Smith School of Business, Universität von Maryland, 4428 Van Munching Hall, College Park, MD 20742, USA b Sloan School of Management, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, USA c CAFR, China d NBER, USA erhielt am 28. Juli 2012. Verfügbar online 12. September 2012. In diesem Beitrag untersuchen wir, wie sich die intertemporale Versorgung der Sicherheit auf die Handelsstrategie auswirkt. Wir entwickeln ein allgemeines Rahmenwerk für einen Limit Orderbuchmarkt, um die Dynamik des Angebots zu erfassen. Wir zeigen, dass die optimale Strategie, einen Auftrag auszuführen, nicht von den statischen Eigenschaften von supplydemand abhängt, wie z. B. Bidask-Spread und Markttiefe, hängt davon ab von ihren dynamischen Eigenschaften wie Resilienz: die Geschwindigkeit, mit der sich die Versorgung in ihrem stationären Zustand nach einem Handel erholt . Im Allgemeinen ist die optimale Strategie sehr komplex, vermischt große und kleine Trades und kann die Ausführungskosten erheblich senken. Große Geschäfte entfernen die bestehende Liquidität, um neue Liquidität zu gewinnen, während kleine Trades dem Trader erlauben, jeden eingehenden Liquiditätsfluss weiter zu absorbieren. Liquidity Trading Optimale Auftragsabwicklung Limit Orderbuch JEL Klassifizierung 1 Einleitung Die Lieferung von Finanzwerten ist im Allgemeinen nicht vollkommen elastisch. 2 Welche Handelsstrategie ist optimal in einem Markt mit begrenztem Lieferbedarf oder Liquidität Wie unterscheiden sich verschiedene Aspekte des Angebots und beeinflussen die optimale Strategie Wie bedeutsam sind Kosteneinsparungen aus der optimalen Handelsstrategie Die Händler stehen bei jedem Handel mit diesen Fragen bei. Die Antworten auf diese Fragen sind daher für unser Verständnis davon wichtig, wie sich die Marktteilnehmer verhalten, wie Liquidität bereitgestellt und verbraucht wird, wie sie die Sicherheitspreise beeinflusst und generell, wie die Wertpapiermärkte funktionieren. Wir gehen auf dieses Problem, indem wir uns auf die optimale Strategie eines Händlers konzentrieren, der eine Bestellung über einen bestimmten Zeitraum ausführen muss. 3 Dieses Problem wird auch als das optimale Ausführungsproblem bezeichnet. 4 Bisherige Arbeiten haben wertvolle Erkenntnisse darüber gegeben, wie sich die Liquidität auf das Handelsverhalten der Marktteilnehmer auswirkt (z. B. Bertsimas und Lo, 1998. Almgren und Chriss, 1999 und Huberman und Stanzl, 2005). Diese Literatur neigt dazu, das Angebot als statisches Objekt zu betrachten, wenn sie ihre Wirkung auf optimale Handelsstrategien analysieren. Insbesondere beschreibt sie die Forderung oder Versorgung einer Sicherheit, die einem großen Handel (abhängig von ihrem Vorzeichen) ausgesetzt ist, indem sie eine sofortige Preisaufprallfunktion spezifiziert (d. h. einen zeitunempfindlichen Bedarfsplan). Die Liquidität ist jedoch durch ihre Natur dynamisch. Unser Beitrag ist zu zeigen, dass es die dynamischen Eigenschaften von supplydemand ist, wie seine zeitliche Entwicklung nach Trades, anstatt seine statischen Eigenschaften, wie Ausbreitung und Tiefe, die für die Kosten des Handels und die Gestaltung einer optimalen Strategie von zentraler Bedeutung sind. Wir schlagen einen allgemeinen Rahmen vor, um die Dynamik des Angebots zu modellieren. Wir betrachten einen Limit Orderbuchmarkt, bei dem die Lieferbedingung eines Wertpapiers durch die auf dem Buch gebuchten Limitaufträge repräsentiert wird und der Handel bei Kauf - und Verkaufsaufträgen erfolgt. Wir beschreiben die Form des Limit Orderbuches und vor allem, wie es sich im Laufe der Zeit entwickelt, um die intertemporale Natur des Angebots zu erfassen, dass ein großer Trader konfrontiert ist. Wir beschränken uns auf den Limit Orderbuchmarkt nur zur Bequemlichkeit. Unser Hauptziel ist es, die Bedeutung der Angebotsdynamik bei der Bestimmung der optimalen Handelsstrategie zu demonstrieren, und unsere wichtigsten Schlussfolgerungen bleiben für andere Marktstrukturen anwendbar. Unser Modell umfasst ausdrücklich drei grundlegende Merkmale der Liquidität dokumentiert empirisch: Bidask-Spread, Markttiefe und Resilienz. Die ersten beiden Features Bidask verbreiten und Markttiefe erfassen die statischen Aspekte der Liquidität. Sie beziehen sich auf die Form des Limit Order Buches, die bestimmt, wie viel der aktuelle Preis in Reaktion auf einen Handel bewegt. Bidask-Spread und Markttiefe sind daher der Schlüssel zur Ermittlung der Transaktionskosten, die der Trader bei der Ausführung seiner Trades sofort erleidet. Das dritte Merkmal Resilienz spiegelt den dynamischen Aspekt der Liquidität wider. Die Resilienz bezieht sich darauf, wie sich das zukünftige Limit-Order-Buch als Reaktion auf den aktuellen Handel entwickelt. Wir gehen davon aus, dass die anfängliche Preiserhöhung im Laufe der Zeit allmählich abgebaut wird, da neue Liquiditätsanbieter in das Buch einladen. Je weiter die aktuellen Zitate aus steady-state Ebenen, desto aggressiver Liquiditätsanbieter nach neuen Aufträgen. Wir zeigen, dass die optimale Strategie entscheidend von den dynamischen Eigenschaften des Limit Orderbuches abhängt. Die Strategie besteht aus einem anfänglichen großen Handel, gefolgt von einer Abfolge von kleinen Trades und einem abschließenden diskreten Handel, um den Auftrag zu beenden. Die Kombination von großen und kleinen Trades für die optimale Ausführungsstrategie steht in einem scharfen Kontrast zu den einfachen Strategien, eine Ordnung gleichmäßig in kleine Trades aufzuteilen, wie in früheren Studien vorgeschlagen (z. B. Bertsimas und Lo, 1998 und Almgren und Chriss, 1999). Die Intuition hinter dem komplexen Handelsmuster ist einfach. Der anfängliche Großhandel zielt darauf ab, das Limit Orderbuch von seinem Steady State wegzutreten, um neue Liquiditätsanbieter zu gewinnen. Die Größe des Großhandels wird optimal gewählt, um genügend neue Aufträge zu ziehen, ohne zu hohe Transaktionskosten zu verursachen. Die nachfolgenden kleinen Trades nehmen dann den Auftragseingang ab und halten den Zufluss zu wünschenswerten Preisen. Ein endgültiger diskreter Handel beendet den Restauftrag am Ende des Handelshorizonts, wenn die zukünftige Bedarfsversorgung nicht mehr besorgniserregend ist. Überraschenderweise hängt die optimale Strategie und die Kosteneinsparung in erster Linie von den dynamischen Eigenschaften von supplydemand ab und ist nicht sehr empfindlich gegenüber ihren statischen Eigenschaften, die durch eine sofortige Preis-Wirkungs-Funktion beschrieben wurden, die in früheren Arbeiten im Vordergrund stand. Insbesondere die Geschwindigkeit, mit der sich das Limit Orderbuch nach dem Auftritt eines Handels, d. H. Der Widerstandsfähigkeit des Buches oder seiner Nachschubrate, wieder aufbaut, spielt eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der optimalen Ausführungsstrategie und der Kosten, die es spart. Darüber hinaus stellen wir fest, dass die Kosteneinsparungen aus der optimalen Ausführungsstrategie erheblich sein können. Als eine Illustration, betrachten wir die Ausführung einer Ordnung der Größe 20 mal die Markttiefe innerhalb eines eintägigen Horizonts. Unter der Formulierung der statischen Lieferscheinfunktion in Bertsimas und Lo (1998) und Almgren und Chriss (1999). Die vorgeschlagene Strategie ist, die Ordnung gleichmäßig im Laufe der Zeit zu verbreiten. Wenn wir jedoch die Dynamik des Angebots berücksichtigen, insbesondere die Halbzeit für das Limit-Orderbuch, nachdem sie von Trades getroffen wurden, sind die Ausführungskosten der Bestellung unter der optimalen Strategie niedriger als die gleichmäßige Strategie. Zum Beispiel, wenn die Halbwertszeit für das Buch zu erholen ist 0,90 Minuten, was relativ kurz ist, ist die Kostenersparnis 0,33. Es wird 1,88, wenn die Halbwertszeit der Erholung 5,40 Minuten und 7,41 beträgt, wenn die Halbwertszeit der Erholung 27,03 Minuten beträgt. Klar, Kosteneinsparungen steigen und werden erheblich, wenn die Bücher Erholungszeit erhöht. Viele Autoren haben das Problem der optimalen Auftragsausführung untersucht. Zum Beispiel schlagen Bertsimas und Lo (1998) eine lineare Preiswirkungsfunktion vor und lösen für die optimale Ausführungsstrategie, um die erwarteten Kosten für die Ausführung einer bestimmten Bestellung zu minimieren. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 beinhalten Risikoüberlegungen in einer ähnlichen Umgebung. 5 Der Rahmen, der in diesen Studien verwendet wird, beruht auf statischen Preisaufprallfunktionen zu festgelegten Handelszeiten. Die Festlegung von Handelszeiten ist eindeutig unerwünscht, weil das Timing von Trades eine wichtige Wahlvariable ist und optimal bestimmt werden sollte. Noch wichtiger ist, dass die vordefinierten statischen Preisauswirkungen die intertemporale Natur des Angebots nicht erfassen. Sie ignorieren, wie der Weg der Trades die zukünftige Entwicklung des Buches beeinflusst. Zum Beispiel nehmen Bertsimas und Lo (1998) eine lineare statische Preisaufprallfunktion ein. Folglich hängt die Gesamtpreiswirkung einer Abfolge von Trades nur von ihrer Gesamtgröße ab und ist unabhängig von ihrer Verteilung über die Zeit. Darüber hinaus werden die Ausführungskosten strategisch unabhängig, wenn häufiger Trades erlaubt sind. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 und Huberman und Stanzl (2005) führen eine zeitweilige Preiswirkung als eine Modifikation ein, die vom Trading-Tempo abhängt. Die vorübergehende Preiswirkung fügt ein dynamisches Element der Preiswirkung hinzu, indem sie schnelles Handeln bestraft. Dieser Ansatz beschränkt jedoch die Ausführungsstrategie auf kontinuierliche Trades, die im Allgemeinen suboptimal ist. Was die bisherige Analyse nicht vollständig erfasst, ist, wie sich die Liquidität auf dem Markt ergänzt und wie sie mit Trades interagiert. Unser Rahmen beschreibt diesen Prozess explizit, indem wir die Buchdynamik direkt in einem Limit Orderbuchmarkt modellieren, der, wie wir zeigen, bei der Bestimmung der optimalen Ausführungsstrategie entscheidend ist. 6 Neben dem empirischen Beweis steht auch das dynamische Verhalten des Buches, das wir zu erfassen versuchen, auch mit den Gleichgewichtsmodellen der Limit Orderbuchmärkte im Einklang. Die Idee der Liquidität, die von einem Handel verbraucht wird und dann wieder aufgefüllt wird, wenn zusätzliche Liquiditätsanbieter zugute kommen, liegt hinter den meisten dieser Modelle. Zum Beispiel, Foucault (1999). Foucault, Kadan und Kandel (2005). Und Goettler, Salon und Rajan (2005) bauen theoretische Modelle von limitierten Buchmärkten auf, die je nach den Merkmalen der Marktteilnehmer unterschiedliche, aber endliche Resilienz im Gleichgewicht aufweisen. 7 Die Resilienz spiegelt die Höhe der verborgenen Liquidität am Markt wider. Unser Rahmen ermöglicht es uns, diesen dynamischen Aspekt des Angebots flexibel zu erfassen und die optimale Ausführungsstrategie unter realistischeren Marktbedingungen zu untersuchen. Unsere Analyse ist ein partielles Gleichgewicht in der Natur, wobei die Dynamik des Limit Orderbuchs gegeben ist. Obwohl wir nicht versuchen, eine Gleichgewichtsberechtigung für die spezifische Limit Orderbuchdynamik zu schaffen, die in der Zeitung verwendet wird, erlaubt unser Framework eine allgemeinere Dynamik. In der Folgeforschung haben mehrere Autoren dieses Framework verwendet, um reichere Buchverhalten zu integrieren. Zum Beispiel haben Alfonsi et al. (2010) betrachten allgemeine, aber kontinuierliche Formen des Limit Orderbuches und Predoiu, Shaikhet und Shreve (2010) erlauben diskrete Aufträge und allgemeinere Dynamik. Die Endogenisierung der Limit Orderbuchdynamik in einer vollen Gleichgewichtseinstellung ist sicherlich wünschenswert, aber anspruchsvoll. Bestehende Gleichgewichtsmodelle, wie die oben genannten, müssen die Menge der zulässigen Order-Placement-Strategien stark einschränken. Zum Beispiel Foucault, Kadan und Kandel (2005). Rou, 2008 und Rou, 2009 erlauben nur Aufträge von einer festen Größe und Goettler, Salon und Rajan (2005) konzentrieren sich auf One-Shot-Strategien. Diese Vereinfachungen sind hilfreich bei der Erlangung bestimmter einfacher Eigenschaften des Buches, aber sie sind bei der Analyse der optimalen Handelsstrategie recht restriktiv. Ein allgemeineres und realistisches Gleichgewichtsmodell muss allgemeine Strategien zulassen. Aus dieser Perspektive ist unsere Analyse, nämlich die Lösung der optimalen Ausführungsstrategie unter allgemeiner Versorgung und Dynamik, ein wichtiger Schritt in diese Richtung. Der Rest des Papiers ist wie folgt organisiert. Abschnitt 2 gibt das optimale Ausführungsproblem an. Abschnitt 3 führt ein Limit Order Book Framework ein. Abschnitt 4 zeigt, dass die konventionelle Einstellung in früheren Arbeiten als ein Spezialfall unseres Rahmens betrachtet werden kann, der unrealistische Annahmen und unerwünschte Eigenschaften beinhaltet. Abschnitt 5 liefert die Lösung für ein Problem in der diskreten Zeit. Abschnitt 6 liefert die Lösung für ein Problem in der kontinuierlichen Zeit. Abschnitt 7 analysiert die Eigenschaften und Kosteneinsparungen von optimalen Strategien. Abschnitt 8 diskutiert Erweiterungen. § 9 schließt ab. Alle Beweise sind im Anhang angegeben. 2 Aufruf des Problems Das Problem, das wir interessieren, ist, wie ein Händler eine bestimmte Bestellung optimal ausführt. Wir gehen davon aus, dass der Händler X 0 Einheiten eines Wertpapiers über einen festen Zeitraum zu kaufen hat. Angenommen, der Trader vervollständigt den Auftrag im Handel zu Zeiten, wo und. Lassen Sie die Handelsgröße für den Handel bei t n bezeichnen. Wir haben dann eine Strategie zur Ausführung der Bestellung wird durch die Anzahl der Trades, die Menge der Zeiten zu handeln und Handelsgrößen gegeben. Lassen Sie den Satz dieser Strategien bezeichnen: Hier haben wir angenommen, dass das Strategie-Set aus Ausführungsstrategien mit einer endlichen Anzahl von Trades zu diskreten Zeiten besteht. Dies geschieht nur für einen einfachen Vergleich mit früheren Arbeiten. Später werden wir die Strategie erweitern, um eine unzählige Anzahl von Trades auch im Laufe der Zeit zu ermöglichen (Abschnitt 6). Lassen Sie den durchschnittlichen Ausführungspreis für den Handel bezeichnen. Der Trader wählt seine Ausführungsstrategie über einen bestimmten Handelshorizont T, um die erwarteten Gesamtkosten seines Kaufs zu minimieren: Diese Zielfunktion bedeutet, dass der risikoneutrale Trader sich nur um den erwarteten Wert kümmert, aber nicht um die Unsicherheit der Gesamtkosten. Später werden wir Risikobewertungen (in Abschnitt 8) weiter einführen. Es ist wichtig zu erkennen, dass der Ausführungspreis für den Handel x n im Allgemeinen nicht nur von x n abhängt. Die aktuelle Handelsgröße, aber auch alle bisherigen Trades. Eine solche Abhängigkeit spiegelt zwei Dimensionen der Preisauswirkungen des Handels wider. Erstens, es ändert die Sicherheiten aktuellen Lieferbedarf. Zum Beispiel, nach einem Kauf von x Einheiten der Sicherheit zum aktuellen Preis von, die verbleibende Versorgung der Sicherheit in der Regel sinkt. Zweitens kann sich eine Änderung des aktuellen Lieferbedarfs auf die zukünftige Versorgung und damit die Kosten für zukünftige Geschäfte auswirken. Mit anderen Worten, die Preiswirkung wird durch die volle Dynamik der Versorgung und als Reaktion auf einen Handel bestimmt. Um das optimale Ausführungsproblem vollständig festzulegen und zu lösen, müssen wir also die Angebotsdynamik richtig modellieren. 3 Limit Orderbuch und Supply Demand Dynamics Die tatsächliche Lieferbedingung eines Wertpapiers und seine Dynamik hängt vom tatsächlichen Handelsprozess ab. Von verschiedenen Märkten unterscheidet sich der Handelsprozess erheblich von einem Fachmarkt, einem Händlermarkt bis zu einem zentralisierten elektronischen Markt mit einem Limit Orderbuch. In dieser Arbeit betrachten wir den Limit Orderbuchmarkt. Allerdings ist unsere Analyse von allgemeiner Natur, und wir erwarten, dass unsere Ergebnisse auch für andere Marktstrukturen relevant sind. 3.1 Limit Orderbuch Eine Limit Order ist ein Auftrag, um eine bestimmte Anzahl von Aktien eines Wertpapiers zu einem bestimmten Preis zu handeln. In einem Markt, der durch ein Limit Order Book (LOB) betrieben wird, geben die Händler ihre Lieferschein in Form von Limit Orders an ein elektronisches Handelssystem. 8 Ein Handel tritt auf, wenn ein Auftrag, sagen ein Kaufauftrag, in das System zum Preis einer entgegengesetzten Bestellung auf dem Buch eintritt, in diesem Fall ein Verkaufsauftrag. Die Erfassung aller aufgegebenen Grenzaufträge kann als Gesamtbedarf und - angebot auf dem Markt angesehen werden. Sei die Dichte von Limit Orders zu verkaufen zu Preis P. Und sei die Dichte der Limit Orders zu kaufen, um Preis P. Die Anzahl der Verkaufsaufträge in einem kleinen Preisintervall ist. In der Regel haben wir wo sind die besten Fragen und Gebot Preise, jeweils. Wir definieren, wo V ist der Mid-Quote Preis und s ist die Bidask-Spread. Dann und Weil wir die Ausführung eines großen Kaufauftrags in Erwägung ziehen, konzentrieren wir uns auf die obere Hälfte des LOB und legen einfach den Index A ab. Um die Ausführungskosten für einen großen Auftrag zu modellieren, müssen wir die anfängliche LOB angeben und wie sie sich entwickelt, nachdem sie von einer Reihe von Kaufgeschäften getroffen wurde. Lass die LOB (die obere Hälfte davon) zum Zeitpunkt t sein, wobei Ft den Grundwert der Sicherheit angibt und Zt den Satz von Zustandsvariablen darstellt, die das LOB beeinflussen können, wie etwa vergangene Trades. Wir betrachten hier ein einfaches Modell für die LOB, die ihre dynamische Natur einfängt. Dieses Modell ermöglicht es uns, die Bedeutung der Angebotsdynamik zur Analyse des optimalen Ausführungsproblems zu veranschaulichen. Wir diskutieren unten, wie man dieses Modell erweitert, um die empirische LOB-Dynamik besser zu passen (Abschnitt 8). Der Grundwert Ft folgt einer Brownschen Bewegung, die die Tatsache widerspiegelt, dass sich der Mittelpreispreis aufgrund von Nachrichten über den Grundwert in Abwesenheit von Handelsgeschäften ändern kann. Somit ist VtFt in Abwesenheit irgendeiner Trades, und das LOB behält die gleiche Form mit der Ausnahme, daß der Mittelpunkt Vt. Ändert sich mit F t. Aus Gründen der Einfachheit gehen wir davon aus, dass der einzige Satz von relevanten Zustandsvariablen Z t die Geschichte der vergangenen Trades ist, die mit bezeichnet wird. Zur Zeit 0 ist das Mittelzitat und das LOB hat eine einfache Blockformdichte, wo ist der Anfangspreispreis und ist eine Indikatorfunktion: Mit anderen Worten, q 0 ist eine Schrittfunktion von P mit einem Sprung von null bis Q zum fragenpreis Panel A von Fig. 1 zeigt die Form des Buches zur Zeit 0. Abb. 1. Das Limit Orderbuch und seine Dynamik. Diese Figur veranschaulicht, wie sich die Verkaufsseite des Limit-Order-Buches im Laufe der Zeit als Reaktion auf einen Kaufhandel entwickelt. Vor dem Handel zur Zeit ist das Limit-Order-Buch voll zum Preis, der im ersten Panel von links angezeigt wird. Der Handel der Größe x 0 bei t 0 isst die Aufträge auf dem Buch mit den niedrigsten Preisen und drückt den fragenpreis bis zu, wie im zweiten Panel gezeigt. In den folgenden Zeiträumen kommen neue Aufträge zum fragenpreis an. Diese Aufträge füllen das Buch und senken den fragenpreis, bis dieser Preis in seinen neuen stationären Zustand konvergiert, wie im letzten Panel auf der rechten Seite gezeigt. Aus Gründen der Klarheit gehen wir davon aus, dass es während dieser Zeit keine grundlegenden Schocks gibt. Jetzt betrachten wir einen Kaufhandel von Größe x 0 Aktien bei t 0. Der Handel wird von allen Verkaufsaufträgen mit Preisen von bis zu, wo ist gegeben von Von dieser Formel, wir finden, dass der neue Preis fragen ist. Der durchschnittliche Ausführungspreis für den Handel x 0 ist linear in der Größe des Handels und ist gleich. Somit ist die Blockform des LOB mit der in früheren Arbeiten angenommenen linearen Preisaufprallfunktion konsistent. Dies ist auch der Hauptgrund, warum wir diese Spezifikation hier übernommen haben. Unmittelbar nach dem Handel wird das Limit Orderbuch beschrieben, wo ist der neue Ask-Preis. Aufträge zu Preisen unten wurden alle ausgeführt. The book is left with sell limit orders at prices above (including) . Panel B of Fig. 1 plots the limit order book right after the trade. 3.2 Limit order book dynamics We next specify how the LOB evolves over time after being hit by a trade. This amounts to describing how new sell limit orders arrive to fill the book. First, we need to specify the impact of the trade on the mid-quote price. Usually, the mid-quote price will be shifted up by the trade. We assume that the shift in the mid-quote price is linear in the size of the total trade. That is, where and corresponds to the permanent price impact of trade x 0 . If initial trade x 0 at t 0 is not followed by other trades and if there are no shocks to the fundamentals, then as time t goes to infinity, the limit order book eventually converges to its new steady state: where the new mid-quote and ask price . Next we need to specify how the limit-order book converges to its steady state. Note that right after the trade, the ask price is , while in the steady state it is . The difference between the two is . We assume that the limit-order book converges to its steady state exponentially, in the absence of new trades and changes in fundamental F t . and parameter corresponds to the convergence speed, which measures the resilience of the LOB. If we define D t being the deviation of current ask price A t from its steady state level , then Eqs. (5) and (6) imply that after a buy trade x 0 . the new sell limit orders will start coming into the book at the new ask price A t at the rate of . Thus, the further the current ask price is from its steady state, the more aggressively liquidity providers step in and post new orders to offer replenished liquidity. Panel C to Panel E in Fig. 1 illustrate the time evolution of the LOB after a buy trade. We can easily extend the LOB dynamics to allow multiple trades and shocks to the fundamental value. Let n ( t ) denote the number of trades during interval . Define a trading sequence with n ( t ) trades at times of size . Let X t be the remaining order to be executed at time t . before trading at time t occurs. We have and If is the total amount of purchase during , then the mid-quote V t at any time t is The ask price at any time t is and the limit order book is given by (5). The above description can be extended to include sell orders, which may occur in the meantime shifting the mid-quote V t . But if they are not predictable, we can simply omit them, as they will not affect our analysis. Before we go ahead with the LOB dynamics and examine its implications for execution strategy, several comments are in order. First, the key feature of the LOB is its finite resilience, which is captured by , the refresh rate of the book. This is motivated by a range of empirical evidence such as those documented in Biais, Hillion, and Spatt (1995). Hamao and Hasbrouck (1995). and Coppejans, Domowitz, and Madhavan (2004). unter anderen. Second, although the LOB dynamics specified here is taken as given, without additional equilibrium justification, its qualitative behavior, namely, the finite resilience, is consistent with those obtained in simple equilibrium models of LOB markets considered by Foucault, Kadan, and Kandel (2005) and Goettler, Parlou, and Rajan (2005) . 9 Third, existing equilibrium models are inadequate for analyzing the problem of execution as they limit the admissible strategies severely by restricting trade size and frequency. Thus, in order to develop a full equilibrium model for the execution problem, we first need to know its solution under general demandsupply dynamics and then arrive at equilibrium dynamics. From this point of view, this paper focuses on the first part of this undertaking. Fourth, our setting is very flexible in allowing an arbitrary shape of the book and rich dynamics for its time evolution in response to an arbitrary set of trades. Since the main goal of this paper is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining the optimal trading behavior rather than obtaining a general solution to the problem, we narrow down our analysis to a specific case of the general setting. The qualitative conclusions we obtain from the simple case remain robust when more general forms of the book and its dynamics are allowed, as follow-up research has shown (e. g. Alfonsi et al. 2010 ). 3.3 Execution cost Given the LOB dynamics, we can describe the total cost of an execution strategy for a given order X 0 . Let denote the trade at time t n . and denote the ask price at time t n prior to this trade. Since the evolution of the ask price A t in (10) is not continuous, we denote by A t the left limit of A t . , i. e. the ask price before the trade at time t . The same convention is followed for V t as well. The cost for a single trade is then given by For the block-shaped LOB given in (5). we have and The total cost of trades of size , , is . Thus, the optimal execution problem (3) is reduced to under the LOB dynamics given in (9) and (10) . 4 Conventional models as a special case Previous work on the optimal execution strategy usually uses a discrete-time setting with fixed time intervals (e. g. Bertsimas and Lo, 1998. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 ). Such a setting, however, avoids the question of how to determine the optimal trading times. In this section, we show that it represents a special case of our framework with specific restrictions on the LOB dynamics, which lead to crucial limitations. 4.1 Conventional setup We first consider a simple discrete-time setting proposed by Bertsimas and Lo (1998). which captures the basic features of the models used in earlier work. In such a setting, the trader trades at fixed equally spaced time intervals, , where and , while trading horizon T and the number of trades N are given. Each trade has an impact on the price, which will affect the total cost of the trade and all future trades. Most models assume a linear price-impact function of the following form: where the subscript n denotes the n - th trade at , is the average price at which trade x n is executed with , is the price impact coefficient, and u n is an i. i.d. random variable with a mean of zero and a variance of . These assumptions are reasonable given the conclusion of Huberman and Stanzl (2004) that in the absence of quasi-arbitrage, permanent price-impact functions must be linear. In the second equation, we have set . Parameter captures the permanent price impact of a trade. The trader wishing to execute an order of size X 0 solves the following problem: where is defined in (15) and X n is a number of shares left to be acquired at time t n (before trade ) with . As shown in Bertsimas and Lo (1998). given that the objective function is quadratic in x n . it is optimal for the trader to split his order into small trades of equal sizes and execute them at regular intervals over the fixed period of time: 4.2 The continuous-time limit Although the discrete-time setting with a linear price impact function gives a simple and intuitive solution, it leaves a key question unanswered, namely, what determines the time-interval between trades. An intuitive way to address this question is to take the continuous-time limit of the discrete-time solution (i. e. to let N go to infinity). However, as Huberman and Stanzl (2005) point out, the solution to the discrete-time model (16) does not have a well-defined continuous-time limit. In fact, as , the cost of the trades as given in (16) approaches the following limit of: This limit depends only on the total trade size X 0 and not on the actual trading strategy itself. Thus, for a risk-neutral trader, the execution cost with continuous trading is a fixed number and any continuous strategy is as good as another. Consequently, the discrete-time model does not have a well-behaved continuous-time limit. 10 The intuition is that a trader can simply walk up the supply curve, and the speed of his trading is irrelevant. Without increasing the cost, the trader can choose to trade intensely at the very beginning and complete the whole order in an arbitrarily small period. For example, if the trader becomes slightly risk averse, he will choose to finish all the trades right at the beginning, irrespective of their price impact. 11 Such a situation is clearly undesirable and economically unreasonable. 4.3 A special case of our framework We can see the limitations of the conventional model by considering it as a special case of our framework. Indeed, we can specify the parameters in the LOB framework so that it will be equivalent to the conventional setting. First, we set the trading times at fixed intervals: , . Next, we make the following assumptions about the LOB dynamics as described in (5) and (9) : where the second equation simply states that the price impact coefficient in the LOB framework is set to be equal to its counterpart in the conventional setting. These restrictions imply the following dynamics for the LOB. As it follows from (10). after the trade x n at t n ( ), the ask price jumps from level to level . Since resilience is infinite, over the next period, ask price comes all the way down to the new steady state level of (assuming no fundamental shocks from t n to ). Thus, the dynamics of ask price is equivalent to the dynamics of in (15) . For the parameters in (18). the cost for trade is given in (13). which becomes which is the same as the trading cost in the conventional model (16). Thus, the conventional model is a special case of the LOB framework with the parameters in (18) . The main restrictive assumption we have to make to obtain the conventional setup is . This assumption means that the LOB always converges to its steady state before the next trading time. This is not crucial if the time between trades is held fixed. If the time between trades is allowed to shrink, this assumption becomes unrealistic. It takes time for the new limit orders to come in to fill up the book again. In reality, the shape of the limit order book after a trade depends on the flow of new orders as well as the time elapsed. As the time between trades shrinks to zero, the assumption of infinite recovery speed becomes less reasonable and gives rise to the problems in the continuous-time limit of the conventional model. 4.4 Temporary price impact This problem has led several authors to modify the conventional setting. He and Mamaysky (2005). for example, directly formulate the problem in continuous-time and impose fixed transaction costs to rule out any continuous trading strategies. Similar to the more general price impact function considered by Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 and Huberman and Stanzl (2005) proposes a temporary price impact of a particular form to penalize high-intensity continuous trading. Both of these modifications limit us to a subset of feasible strategies, which is in general sub-optimal. Given its closeness to our paper, we now briefly discuss the modification with a temporary price impact. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 include a temporary component in the price impact function, which can depend on the trading interval . The temporary price impact gives additional flexibility in dealing with the continuous-time limit of the problem. In particular, they specify the following dynamics for the execution prices of trades: where is the same as given in (15). is the time between trades, and describes a temporary price impact and reflects temporary price deviations from equilibrium caused by trading. With and , the temporary price impact penalizes high trading volume per unit of time, . Using a linear form for , , it is easy to show that as N goes to infinity, the expected execution cost approaches to (e. g. Grinold and Kahn, 2000 Huberman and Stanzl, 2005 ). Clearly, with the temporary price impact, the optimal execution strategy has a continuous-time limit. In fact, it is very similar to its discrete-time counterpart: This strategy is deterministic and the trading intensity, defined by the limit of , is constant over time. 12 The temporary price impact reflects an important aspect of the market, namely, the difference between short-term and long-term supplydemand. If a trader speeds up his buy trades, as he can do in the continuous-time limit, he will deplete the short-term supply and increase the immediate cost for additional trades. As more time is allowed between trades, supply will gradually recover. However, as a heuristic modification, the temporary price impact does not provide an accurate and complete description of the supplydemand dynamics. This leads to several drawbacks. For example, the temporary price impact function in the form considered by Almgren and Chriss (2000) and Huberman and Stanzl (2005) rules out the possibility of discrete trades. This is not only artificial but also undesirable. As we show later, the optimal execution strategy generally involves both discrete and continuous trades. Moreover, introducing the temporary price impact does not capture the full dynamics of supplydemand. For example, two sets of trades close to each other in time versus far apart will generate different supplydemand dynamics, while in Huberman and Stanzl (2005) they lead to the same dynamics. Finally, simply specifying a particular form for the temporary price impact function says little about the underlying economic factors that determine it. 5 Discrete-time solution We now return to our general framework and solve for the optimal execution strategy. Suppose that trading times are fixed at , where and . We consider the corresponding strategies within the strategy set defined in Section 2. Using (3). (9). (10) and (14). the optimal execution problem is reduced to where F t follows a random walk. This problem can be solved using dynamic programming. Proposition 1 The solution to the optimal execution problem (20) is with and . The expected cost for future trades under the optimal strategy is determined according to The table reports values of optimal discrete trades x 0 and x T at the beginning and the end of the trading horizon and the intensity of continuous trades in between for an order of for different values of the LOB resilience parameter or the half-life of an LOB disturbance , which is defined as . The initial ask price is 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is 6.5 hours (390 minutes). Table 2 reports the relative improvement in the expected net execution cost by the optimal execution strategy over the simple strategy of the conventional setting. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Feige. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5 Feige. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will beOptimal Arbitrage Trading We consider the position management problem for an agent trading a mean - reverting asset. This problem arises in many statistical and fundamental arbitrage trading situations when the short-term returns on an asset are predictable but limited risk-bearing capacity does not allow to fully exploit this predictability. The model is rather simple it does not require any inputs apart from the parameters of the price process and agents relative risk aversion. However, the model reproduces some realistic patterns of traders behaviour. We use the Ornstein-Uhlenbeck process to model the price process and consider a finite horizon power utility agent. The dynamic programming approach yields a non-linear PDE. It is solved explicitly, and simple formulas for the value function and the optimal trading strategy are obtained. We use Monte-Carlo simulation to check for the effects of parameter misspecification. Wenn Sie Probleme beim Herunterladen einer Datei haben, überprüfen Sie, ob Sie die richtige Anwendung haben, um sie zuerst anzuzeigen. Bei weiteren Problemen lesen Sie die IDEAS-Hilfeseite. Beachten Sie, dass diese Dateien nicht auf der IDEAS-Website sind. Bitte sei geduldig, da die Dateien groß sein können. Find related papers by JEL classification: G14 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Information and Market Efficiency Event Studies Insider Trading C61 - Mathematical and Quantitative Methods - - Mathematical Methods Programming Models Mathematical and Simulation Modeling - - - Optimization Techniques Programming Models Dynamic Analysis References listed on IDEAS Please report citation or reference errors to. oder. Wenn Sie der registrierte Autor der zitierten Arbeit sind, melden Sie sich bei Ihrem RePEc Author Service-Profil an. Klicken Sie auf Zitate und passen Sie entsprechende Einstellungen vor. Lakner, Peter, 1998. Optimal trading strategy for an investor: the case of partial information , Stochastic Processes and their Applications. Elsevier, vol. 76(1), pages 77-97, August. Full references (including those not matched with items on IDEAS)The CitEc project has not yet found citations to this item.